中学2年生になって最初に学ぶ数学の新しい分野は、連立方程式です。今回は、誰でもできる連立方程式の解き方を解説したいと思います。
連立方程式もパターン化できる
文字が2つ（たいていは x と y）出てくる連立方程式も、中1で習った一次方程式と同じように、パターン化して解くことができます。
連立方程式の基本的な解き方は、こうです。
一文字消去の方法は二通りあって、
- 加減法
- 代入法
のどちらかを利用します。
では加減法からやってみましょう。
加減法①・・・足すか引く→代入
一番単純な問題からいきましょう。
次のような問題はどうでしょうか。
\[\left\{\begin{array}{lc}2x + 4y = 1 & (1)\\2x + y = 10 & (2)\end{array}\right.\]
この問題の場合は、文字 x を消去するために、式（1）から式（2）を引くことにします。
\[\begin{array}{crc} & 2x + 4y = 1 & (1)\\-) & 2x + y = 10 & (2)\\── & ───────── &──\\ & 3y=-9 & \end{array}\]
両辺を 3 で割って、
\[\begin{array}{c}y=-3 & (3)\end{array}\]
式（3）を式（1）に代入して、
\[2x+4×(-3)=1\]
計算して、
\[2x-12=1\]
あとは、移項→計算→割る、です。
\[2x=1+12\]
\[2x=13\]
\[x=\frac{13}{2}\]
実は・・・
「式（3）を式（1）に代入して」と書きましたが、実は「式（3）を式（2）に代入」した方が少し楽に計算できます。やってみましょう。
式（3）を式（1）に代入して、\[2x+(-3)=10\]
この部分に掛け算が生じない分だけ楽です
あとは、移項→計算→割る、で同じです。
結局、あとの計算が一番楽そうな式に代入するほうがいいですよ、という話です。
従って答えは、
\[\left\{\begin{array}{l}x=\cfrac{13}{2}\\y=-3\end{array}\right.\]
完成です。
加減法①
2式を足すか引く→代入
加減法②・・・掛ける→足すか引く→代入
次は、ひと手間かける問題です。
\[\left\{\begin{array}{lc}2x + 3y = 6 & (1)\\-x-3y = 3 & (2)\end{array}\right.\]
先程のようにただ足すか引くかしても x や y が消えないので、一工夫します。
x か y のどちらかが消えるように、いずれかの式を数倍してやります。この問題の場合は、式（2）に2を掛けるするとうまくいきそうです。
式（2）を2倍すると、
\[\begin{array}{c}-2x-6y = 6 & (2′)\end{array}\]
この式（2’）を利用して x を消去するために、式（1）と式（2’）の両辺を足すと、
\[\begin{array}{crc} & 2x + 3y = 6 & (1)\\+) & -2x-6y = 6 & (2′)\\── & ───────── &──\\ & -3y=12 & \end{array}\]
両辺を －3 で割って、
\[\begin{array}{c}y=-4 & (3)\end{array}\]
式（3）を式（2）に代入して、
\[-x-3×(-4)=3\]
計算して、
\[-x+12=3\]
あとは、移項→計算→割る、です。
\[-x=3-12\]
\[-x=-9\]
\[x=9\]
従って答えは、
\[\left\{\begin{array}{l}x=9\\y=-4\end{array}\right.\]
完成です。
加減法②
一工夫必要な方程式の場合は、
一文字消去するために、どちらかの式を数倍する
→足すか引く→代入
加減法③・・・2回掛ける→足すか引く→代入
次は、ふた手間かける問題です。
\[\left\{\begin{array}{cc}5x + 2y = 16 & (1)\\-2x-3y = -13 & (2)\end{array}\right.\]
先程のようにどちらかの式を何倍かしても x や y が消えないので、もう一工夫します。
今回は y が消えるように、式（1）を3倍し、式（2）を2倍してやります。
それぞれ計算すると、
\[\left\{\begin{array}{rc}15x + 6y = 48 & (1)×3\\-4x-6y =-26 & (2)×2\end{array}\right.\]
何倍するかはこう決める・・・
今回は式（1）を3倍し、式（2）を2倍しましたが、その理由は、2 と 3 の最小公倍数は 6 なので、両式の y の係数が 6 になるように倍数を決めた、というものです。
x の方を消去しようとすると、5 と 2 の最小公倍数は 10 なので（1）を2倍し、式（2）を5倍して、x の係数が 10 になるようにする必要がありますが、できるだけ小さい数字で処理したいので、上記のように「式（1）を3倍し、式（2）を2倍」する方を採用しています。
ここで、両式を足すと、
\[\begin{array}{crc} & 15x + 6y = 48 & (1′)\\+) & -4x-6y =-26 & (2′)\\── & ─────────── &──\\ & 11x=22 & \end{array}\]
両辺を 2 で割って、
\[\begin{array}{c}x=2 & (3)\end{array}\]
式（3）を式（2）に代入して、
\[-2×2-3y = -13\]
計算して、
\[-4-3y=-13\]
あとは、移項→計算→割る、です。
\[-3y=-13+4\]
\[-3y=-9\]
\[y=3\]
従って答えは、
\[\left\{\begin{array}{l}x=2\\y=3\end{array}\right.\]
完成です。
加減法③
二工夫必要な方程式の場合は、
一文字消去するために、両方の式を数倍する
→足すか引く→代入
次回に続きます。
