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かなり詳しい二次方程式の解き方─応用編①

前回は、「かなり詳しい因数分解の解き方─基本編③平方根と解の公式」を考えました。

 

今回はこれまでの応用編です。

整数で割れる場合

なるべく数字を小さくする

全体的に数字が大きいと難しく感じるものです。最初の段階でなるべく数字を小さくしておきましょう。
こんな問題はどうでしょうか。

\[3x^2-27x+24=0\tag{1}\]

共通因数の3でくくってもいいですが、方程式なので両辺に同じ処理をするなら等式は保たれることから、この際両辺を3で割ることにします。従って式(1)は、

\[x^2-9x+8=0\]

左辺を因数分解して、

\[(x-1)(x-8)=0\]

よって、

\[x=1,8\]

となります。

二次方程式の問題で、両辺をある数で割る場合には注意すべきことがありますので、以降で取り上げましょう。

文字で割るのはNG!

たとえば、

\[x^2-2x=0\tag{2}\]

のような問題で、両辺を「 \(x\) 」で割るとどうなるでしょうか。

式(2)の両辺を「 \(x\) 」で割ると、

\[x-2=0\]

よって答えは、「 \(x=2?\) 」で良いかと言うと良くありません。

なぜかというと、もし「 \(x=0\) 」だとすると両辺を 0 で割っていたことになり、それは数学のルール違反(0で割るのは禁止)だからです。それで不完全な解答になってしまいました。

正しくは、共通因数「 \(x\) 」でくくって、

\[x(x-2)=0\]

よって答えは、

\[x=0,2\]

です。
数字で割るのはOKですが、文字で割るのはNGです。

0 で割るのが禁止である理由

この項目は、単なる読み物として流してもらって大丈夫です。

たとえば、12をいろいろな数で割ってみましょう。

12を3で割ると、\(12\div3=4\)

12を2で割ると、\(12\div2=6\)

12を1で割ると、\(12\div3=12\)

もっと小さい数で割ってみましょう。

12を0.5で割ると、\(12\div0.5=24\)

12を0.1で割ると、\(12\div0.1=120\)

12を0.01で割ると、\(12\div0.01=1200\)

もっともっと小さい数で割ってみましょう。

12を0.001で割ると、\(12\div0.001=12000\)

・・・

12を0.0…01で割ると、\(12\div0.0…01=120…00\)

この先がどうなるか予想すると、

12を0に限りなく近い数で割ると、\(12\div0に限りなく近い数→∞\)

割り算の答えがおそらく∞(無限大)になり、有限の値からはみ出してしまいます。

そうなると様々な弊害が生じるので、「0で割るのは禁止」になっています。

0で割ると弊害が生じる例

この項目も、さらっと流してもらってOKです。

たとえば、次のような問題があったとします。

\[3(x-2)+3=2(x+1)-4\tag{1}\]

両辺をそれぞれ展開して計算すると、

\[3x-6+3=2x+2-4\]

\[3x-3=2x-2\tag{1′}\]

両辺をそれぞれ因数分解すると(この手順が通常とは異なるので、これがつまずきのもとではあります。通常はすべて左辺に移項して、・・・= 0 の形にしなければなりません。)、

\[3(x-1)=2(x-1)\tag{1”}\]

両辺を「 \((x-1)\) 」で割ると(本当は割ってはいけない…理由:(x-1)が0かも知れないから)、

\[3=2\]

となり、意味不明な等式になってしまいます。これは、0で割ってしまったからです。

実際、式(1’)をこれまでどおりの手順で解くと、

\[3x-3=2x-2\tag{1′}\]

\[3x-2x=-2+3\]

\[x=1\]

こうなるはずでした。

ここで、「 \(x=1\) 」なので、「 \(x-1=0\) 」ですね。

つまり、式(1”)\(3(x-1)=2(x-1)\) で、両辺を見事に0で割ってしまっていたということです。それでおかしなことになったのです。

両辺を文字で割るのはやめましょう。

整理が必要な場合

問題がいつも、「・・・= 0」になっているとは限りません。そういう場合は、自分が慣れた形に一旦整理する必要があります。

こんな問題はどうでしょうか。

\[2x+4=x^2-11\]

最初に移項して、

\[2x+4-x^2+11=0\]

整理すると、

\[-x^2+2x+15=0\]

となりますが、先頭に「-」がついているとやりにくいので、両辺に「 \(-1\) 」を掛けて

\[x^2-2x-15=0\]

因数分解できますね。

\[(x-5)(x+3)=0\]

\[x-5=0,x+3=0\]

\[x=5,-3\]

となります。

計算(展開)と整理が必要な場合

更に、整理する前に展開する必要のある問題もあります。難しくはありませんが、コツコツやる必要があります。

こんな問題です。

\[2x^2-3-8x=(x-3)^2-9\]

まず右辺を展開します。

\[2x^2-3-8x=x^2-6x+9-9\]

右辺を左辺に移項します。

\[2x^2-3-8x-x^2+6x=0\]

ここで、計算・整理します。

\[x^2-2x-3=0\]

因数分解して、答えを出します。

\[(x-3)(x+1)=0\]

\[x=3,-1\]

となります。

 

次回に続きます。

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