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かなり詳しい二次方程式の解き方─基本編②

前回は、「かなり詳しい二次方程式の解き方─基本編①」を考えました。

かなり詳しい二次方程式の解き方─基本編①
これまで、乗法公式や因数分解について一生懸命学習しました。ではいよいよこれらを駆使して、締めくくりとなる二次方程式の解き方を取り上げましょう。 二次方程式とは 二次方程式とは、ある文字について最大の次数が2である方程式のことです。 た...

今回はそのつづきで、因数分解の公式を利用して解く問題です。

因数分解の公式①の利用

「因数分解の公式①」を使って解いてみましょう。

因数分解の公式①
\[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\]

こんな問題です。

\[x^2+x-12=0\tag{1}\]

まず左辺を因数分解します。
「足して1、掛けて-12」になる2数を探せばよいということになります。

それは「4と-3」ですね。ですから、左辺を因数分解すると式(1)は、

\[(x+4)(x-3)=0\tag{1′}\]

となります。

さて前回考えたように、2つのものを掛ける場合、どちらかが 0 なら積は 0 である、ということでした。ですから、

\(x+4=0\) または \(x-3=0\)

となります。
ゆえに答えは、

\(x=-4\) または \(x=3\)

です。

「 \(x=4\) または \(x=-3\) 」ではない!

式(1’)の手前で、「足して1、掛けて-12」になる2数が「4と-3」とわかったときに、反射的に答えを「 \(x=4\) または \(x=-3\) 」としてしまうことがありますが、それは間違いで、正しくは「 \(x+4=0\) または \(x-3=0\) 」なので、答えは「 \(x=-4\) または \(x=3\) 」です。よく注意して下さい。

因数分解の公式②平方の利用

次は「因数分解の公式②平方」を使った解法です。

因数分解の公式②平方
\[x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\]

こんな問題です。

\[y^2+20y+100=0\tag{2}\]

まず左辺を因数分解します。

「足して20、掛けて100」になる2数を探してもよいのですが、よく見ると定数項が10の2乗(つまり10の平方)になっていますので、「2倍して20、2乗して100」になる数字を探すほうが良いということになります。

それは「10」です。ですから、左辺を因数分解すると式(2)は、

\[(y+10)^2=0\tag{2′}\]

これは次のようにも書けます。

\[(y+10)(y+10)=0\tag{2”}\]

ここでいつものように、2つのものを掛ける場合、どちらかが 0 なら積は 0 なので、

\(y+10=0\) または \(y+10=0\)

となりますが、これら2つは結局同じものですね。
ゆえに答えは、

\[y=-10\]

です。

因数分解の公式③和と差の積

次は「因数分解の公式③和と差の積」を使った解法です。

因数分解の公式③和と差の積
\[x^2-a^2=(x+a)(x-a)\]

こんな問題です。

\[x^2-49=0\tag{3}\]

「何かの2乗」-「何かの2乗」の形になっています。
ですから、左辺を因数分解すると、式(3)はこうなります。

\[(x+7)(x-7)=0\]

従って答えは、

\(x=7\) または \(x=-7\)

となります。

ちなみに答え方として、

\[x=7,-7\]

とか、

\[x=\pm7\]

などと書くこともできます。

 

次回に続きます。

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