前回は、「分配法則と乗法公式─基本編」を考えました。
今回はその応用編です。
分配法則の応用
まずは分配法則です。
前回分配法則②で考えた以下の公式を使うのですが、
もっと項が多い時の対応についてです。
以下のような問題はどうすると良いでしょうか。
\[(a-2b+c)(4d-5)=?\]
最初の括弧（ ）の中に項が3つもあるので最初は戸惑います。でも、自分が知っている形に持っていくことによって、コツコツやれば答えにたどり着きます。
どうやるかというと、「文字の置き換え＆復元」のテクニックを使うのです。
この問題の場合は、\(a-2b=A\) と置き換えてみます。
するとこうなります。
\[\{(a-2b)+c\}(4d-5)=(A+c)(4d-5)\]
この形はまさしくあの形です。
それで、公式を使って、
\[\{(a-2b)+c\}(4d-5)=(A+c)(4d-5)=4Ad-5A+4cd-5c\]
そして、復元します。
\(a-2b=A\) を適用すると、
\(\{(a-2b)+c\}(4d-5)=(A+c)(4d-5)=4Ad-5A+4cd-5c\)
\[=4(a-2b)d-5(a-2b)+4cd-5c=4ad-8bd-5a+10b+4cd-5c\]
できました。
答えがとても長いので戸惑うかも知れません。でもこれが答えです。
解答に出てくる項は、前から順に「 \(ad\) 」の項、「 \(bd\) 」の項、「 \(a\) 」の項、「 \(b\) 」の項、「 \(cd\) 」の項、「 \(c\) 」の項ですから同類項が一つもなく、これ以上はまとめられません。
乗法公式の応用①
続いて乗法公式です。
1以外の係数がついている場合
これも前回乗法公式①で考えた以下の公式を使うのですが、
「 \(x\) 」の部分に1以外の係数がついている場合です。
こんな問題です。
\[(2x+3)(2x-5)=?\]
「 \(x\) 」に 2 がくっついていますが、公式の「\(x\)」の所が「\(2x\)」に変わっただけなので、次のように公式を素直に当てはめれば恐れる必要はありません。
\[(2x+3)(2x-5)=(2x)^2+(3-5)\times2x+3\times(-5)=4x^2-4x-15\]
展開後の2項目ですが、公式の「\(x\)」の所が「\(2x\)」に変わっているので、\((3-5)x\) ではなく \((3-5)\times2x\) であることに注意して下さい。
項が多い場合
こんな問題です
\[(x+2y+1)(x+3y+1)=?\]
それぞれの括弧（ ）の中に項が3つありますが、今回も自分が知っている形に持っていくことによって、コツコツやれば答えにたどり着きます。
つまり先ほど考えた、「文字の置き換え＆復元」のテクニックを使うのです。
この問題の場合は、\(x+1=A\) と置き換えてみます。
するとこうなります。
\[\{(x+1)+2y\}\{(x+1)+3y\}=(A+2y)(A+3y)=A^2+5yA+6y^2\]
ここで、復元します。
\(x+1=A\) を適用すると、
\[A^2+5yA+6y^2=(x+1)^2+5y(x+1)+6y^2=x^2+2x+1+5xy+5y+6y^2\]
できました。
乗法公式の応用②平方
次は、平方の乗法公式を使った応用です。
1以外の係数がついている場合
今度は前回乗法公式②で考えた以下の公式を使うのですが、
「 \(x\) 」の部分に1以外の係数がついている場合です。
こんな問題です。
\[(3y-2)^2=?\]
公式の「\(x\)」の所が「\(3y\)」に変わっただけなので、大丈夫ですね。
ちなみに「\(a\)」は「\(-2\)」ですよ！
\[(3y-2)^2=(3y)^2+2\times3y\times(-2)+(-2)^2=9y^2-12y+4\]
項が多い場合
こんな問題です
\[(x+2y+3)^2=?\]
括弧（ ）の中に項が3つありますが、今回も自分が知っている形に持っていくことにします。
「文字の置き換え＆復元」のテクニックです。
この問題の場合は、\(2y+3=Y\) と置き換えてみます。
するとこうなります。
\[\{x+(2y+3)\}^2=(x+Y)^2=x^2+2xY+Y^2\]
ここで、復元します。
\(2y+3=Y\) を適用すると、
\[x^2+2xY+Y^2=x^2+2x(2y+3)+(2y+3)^2=x^2+4xy+6x+4y^2+12y+9\]
できました。
乗法公式の応用③和と差の積
次は、和と差の積の乗法公式を使った応用です。
1以外の係数がついている場合
今度は前回乗法公式③で考えた以下の公式を使うのですが、
こんな問題です。
\[(3x+2)(3x-2)=?\]
公式の「\(x\)」の所を「\(3x\)」に変えて考えます。
すると、
\[(3x+2)(3x-2)=(3x)^2-2^2=9x^2-4\]
項が多い場合
こんな問題です
\[(x+2y-3)(x-2y+3)=?\]
括弧（ ）の中に項が3つあり、一見すると乗法公式③を使えなさそうなんですが、次のように括弧（ ）でくくるとうまくいきます。
\[(x+2y-3)(x-2y+3)=\{x+(2y-3)\}\{x-(2y-3)\}\]
ここで満を持して「文字の置き換え＆復元」のテクニックの登場です。
この問題の場合は、\(2y-3=Y\) と置き換えてみます。
するとこうなります。
\[\{x+(2y-3)\}\{x-(2y-3)\}=(x+Y)(x-Y)=x^2-Y^2\]
ここで、復元します。
\(2y-3=Y\) を適用すると、
\[x^2-Y^2=x^2-(2y-3)^2=x^2-(4y^2-12y+9)=x^2-4y^2+12y-9\]
できました。
\(-(2y-3)^2\) を展開するときは、括弧（ ）の中を計算した後に、先頭の「－」を各項に掛けていく必要がありますので、間違えないようにしましょう。
