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分配法則と乗法公式─基本編

因数分解や2次方程式を解くための基礎となる、分配法則と乗法公式を取り上げましょう。

分配法則

まずは分配法則です。

分配法則①

最も基本的な分配法則は以下の通りです。

\[a(b+c)=ab+ac\]

これは問題ないでしょう。

例えば、

\[2(x+3)=2x+6\tag{1}\]

\[3(y-4)=3y-12\tag{2}\]

となります。

分配法則適用時の符号・・・
分配法則を適用する際は全て、項に付属している符号(+や-)もセットで考えます。
つまり、式(1)の場合は \(+2\) に \(+x\) と \(+3\) を掛けるので \(2x+6\) になり、式(2)の場合は \(+3\) に \(+y\) と \(-4\) を掛けるので \(3y-12\) になります。

分配法則②

こちらが、しっかり覚えておくべき分配法則のいわば公式となるものです。

\[(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\]

これは、以下のようなイメージです。

たとえば、

\[(x+2y)(z+3)=xz+3x+2yz+6y\]

となります。

また、上記HINTで取り上げたように、項に付属している符号(+や-)もセットで考えるべきことを意識するなら、以下のような問題も符号を間違えることなく解けます。

たとえば、

\[(2x+3)(-y-4)=(+2x)✕(-y)+(+2x)✕(-4)+(+3)✕(-y)+(+3)✕(-4)\]

従って、

\[(2x+3)(-y-4)=-2xy-8x-3y-12\]

となります。

乗法公式

続いて乗法公式です。
とりあえず3種類に分類して覚えます。

乗法公式①

最もよく使う乗法公式はこれです。

\[(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\]

これは、以下のようなイメージです。

たとえば、

\[(x+2)(x+3)=x^2+(2+3)x+2✕3=x^2+5x+6\]

となります。

さらにまた、上記HINTで取り上げたように、項に付属している符号(+や-)もセットで考えるべきことを意識するなら、以下のような問題も符号を間違えることなく解けます。

たとえば、

\[(x+3)(x-4)=x^2+(3-4)x+(+3)✕(-4)=x^2-x-12\]

となります。

乗法公式②平方

次は平方の乗法公式です。

\[(x+a)^2=x^2+2ax+a^2\]

\[(x-a)^2=x^2-2ax+a^2\]

これは、以下のようなイメージです。

たとえば、

\[(x+3)^2=x^2+2✕3✕x+3^2=x^2+6x+9\]

となります。

さらにまた、上記HINTで取り上げたように、項に付属している符号(+や-)もセットで考えるべきことを意識するなら、以下のような問題も符号を間違えることなく解けます。

たとえば、

\[(x-4)^2=x^2+2✕(-4)✕x+(-4)^2=x^2-8x+16\]

となります。

乗法公式③和と差の積

次は和と差の積です。

\[(x+a)(x-a)=x^2-a^2\]

これは、以下のようなイメージです。

\(a^2\)の符号は必ず「-」ですので、間違えないようにしましょう。

たとえば、

\[(x+3)(x-3)=x^2-9\]

となります。

 

次回に続きます。

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